2019-2020年高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业 北师大版选修2-2

发布时间:2021-04-18 07:39:54

2019-2020 年高中数学 第 2 章 5 简单复合函数的求导法则课时作业

北师大版选修 2-2

一、选择题

1.函数 y=xln(2x+5)的导数为( )

A.ln(2x+5)-2xx+5

B.ln(2x+5)+2x2+x 5

C.2xln(2x+5)

x D.2x+5

[答案] B

[ 解 析 ] y′x= [xln(2x+ 5)]′ = x′ln(2x + 5)+ x[ln(2x +5)]′ = ln(2x + 5) + x·2x1+5·(2x+5)′=ln(2x+5)+2x2+x 5.

2.已知 f(x)=12sin2x+sinx,那么 f′(x)(

)

A.是仅有最小值的奇函数

B.是既有最大值又有最小值的偶函数

C.是仅有最大值的偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

[答案] B

[解析] f′(x)=(12sin2x+sinx)′=(12sin2x)′+(sinx)′=12cos2x·(2x)′+

cosx=cos2x+cosx.

因为 f′(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+14)2-98,又-1≤cosx≤1,所

以函数 f′(x)既有最大值又有最小值.

因为 f′(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),所以 f′(x)是偶函数.故

选 B. 3.(xx·全国大纲理,7)曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等于( )

A.2e

B.e

C.2

D.1

[答案] C [解析] 本题考查了导数的应用和直线方程.点(1,1)在曲线上,对 y 求导得 y=ex-1 +xex-1,所以在点(1,1)处的切线的斜率为 k=2.曲线上某一点的导函数值,就是过该点的

切线的斜率.

4.若函数 f(x)=3cos(2x+π3 ),则 f′(π2 )等于( )

A.-3 3

B.3 3

C.-6 3 [答案] B

D.6 3

[解析] f′(x)=-6sin(2x+π3 ),

∴f′(π2 )=-6sin(π +π3 )=6sinπ3 =3 3.

5.函数 y=cos2x+sin x的导数为( )

A.-2sin2x+cos x 2x

B.2sin2x+cos x 2x

C.-2sin2x+sin x 2x

D.2sin2x-cos x 2x

[答案] A

[解析] y′x=(cos2x+sin x)′=(cos2x)′+(sin x)′=-sin2x·(2x)′+

cos

x·(

x)′=-2sin2x+cos

x .

2x

二、填空题 6.(xx·三亚市一中月考)曲线 y=2xx-1在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+ y2+4x+3=0 上的点的最近距离是________.

[答案] 2 2-1

[解析] y′|x=1=-

1 x-

2|x=1=-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2

=0,圆心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1,

∴所求最近距离为 2 2-1.

7.曲线 y=sin3x 在点 P(π3 ,0)处的切线方程为____. [答案] 3x+y=π

[解析] y′x=cos3x·(3x)′=cos3x·3=3cos3x.∴曲线 y=sin3x 在点 P(π3 ,0)处

的切线斜率为 3cos(3×π3 )=-3,∴切线方程为 y=-3·(x-π3 ),即 3x+y=π . 8.(xx·西安模拟)曲线 y=e2x 在点(0,1)处的切线方程为________. [答案] 2x-y+1=0

[解析] y′=(e2x)′=2e2x,k=y′|x=0=2·e2×0=2,∴切线方程为 y-1=2(x-0), 即 2x-y+1=0.
三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=e3x;(2)y=cos42x-sin42x. [解析] (1)引入中间变量 u=φ (x)=3x,则函数 y=e3x 是由函数 f(u)=eu 与 u=φ (x) =3x 复合而成的. 查导数公式表可得 f′(u)=eu,φ ′(x)=3. 根据复合函数求导法则可得 (e3x)′=f′(u)φ ′(x)=eu·3=3e3x. (2)y=cos42x-sin42x=(cos22x+sin22x)(cos22x-sin22x)=cos4x. 引入中间变量 u=φ (x)=4x,则函数 y=cos4x 是由函数 f(u)=cosu 与 u=φ (x)=4x 复合而成的. 查导数公式表可得 f′(u)=-sinu,φ ′(x)=4. 根据复合函数求导法则可得 (cos42x-sin42x)′=(cos4x)′=f′(u)φ ′(x)=-sinu·4=-4sin4x. 10.求 y=ln(2x+3)的导数,并求在点(-12,ln2)处切线的倾斜角.

[分析] 函数 y=ln(2x+3)可以看作函数 y=lnu 和 u=2x+3 的复合函数,根据复合 函数的求导法则来求.
[解析] 令 y=lnu,u=2x+3, 则 y′x=(lnu)′·(2x+3)′=1u·2=2x2+3.

当 x=-12时,y′=3-2 1=1,即在点(-12,ln2)处切线的倾斜角的正切值为 1,所以倾

斜角为π4 .

一、选择题 1.y=log3cos2x 的导数是( ) A.-2log3e·tanx
C.-2log3cosx

B.2log3e·cotx D.lcoogs32ex

[答案] A [解析] y′=co1s2xlog3e·(cos2x)′

=co1s2xlog3e·2cosx·(cosx)′

=co1s2xlog3e·2cosx(-sinx)=-2log3e·tanx.

2.已知 f(x)=x2+2f′???-13???·x,则 f′???-13???=(

)

A.23

B.-23

C.0 [答案] A

D.无法确定

[解析] ∵f(x)=x2+2f′???-13???·x, ∴f′(x)=2x+2f′???-13???, ∴f′???-13???=2×???-13???+2f′???-13???, ∴f′???-13???=-2×???-13???=23,即 f′???-13???=23. 3.函数 f(x)=cos x(x∈R)的图象按向量(m,0)平移后,得到函数 y=-f′(x)的图象, 则 m 的值可以为( )

A.π2

B.π

C.-π

D.-π2

[答案] A [解析] 考查三角函数的图象按向量平移常见三角函数的导数,f(x)=cos x 的图象按 向量(m,0)平移后得到 cos(x-m)=-f′(x)=sin x 的图象,故选 A. 二、填空题

4.f(x)= ax-1,且 f′(1)=1,则 a 的值为________.

[答案] 2

[解析]

∵f′(x)= 2

a1x-1·(ax-1)′=2

a ax-1,

∴f′(1)= 2

a a-1=1.

解得 a=2 5.(xx·江苏,11)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+bx(a,b 为常数)过点 P(2,

-5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. [答案] -3 [解析] 曲线 y=ax2+bx过点 P(2,-5),则 4a+b2=-5① 又 y′=2ax-xb2,所以 4a-b4=-72②

由①②解得?????ab= =- -12,. 所以 a+b=-3. 函数在某点处的导数值即为经过该点的切线的斜率. 三、解答题 6.求 f(x)=x2·e2x 的导数. [分析] 先用两个函数相乘的求导法则,再由复合函数求导法则求解. [解析] f′(x)=(x2)′e2x+x2·(e2x)′ =2xe2x+x2·(e2x)·2 =e2x(2x+2x2)=2x(1+x)e2x.

7.某港口在一天

24

小时内潮水的高度近似满足关系

s(t)



3sin(

π 12

t



5π 6

)(0≤t≤24),其中

s

的单位是

m,t

的单位是

h,求函数在

t=18

时的导数,并解释它

的实际意义. [解析] 函数 y=s(t)=3sin(1π2t+56π )是由函数 f(x)=3sinx 和函数 x=φ (t)=1π2t

+5π6 复合而成的其中 x 是中间变量.由导数公式表可得 f′(x)=3cosx,φ ′(t)=π12.

再由复合函数求导法则得 y′t=s′(t)=f′(x)φ ′(t)=3cosx·π12=π4 cos(1π2t+

5π 6

).

将 t=18 时代入 s′(t),得 s′(18)=π4 cos73π =π8 (m/h).

它表示当 t=18 时,潮水的高度上升的速度为π8 m/h.

8.求下列函数的导数:

(1)y=log2(2x2+3x+1);(2)y=ln x2+1; (3)y=lnsixn2x;(4)y=ee2xx++ee--2xx.

[解析] (1)方法一:设 y=log2u,u=2x2+3x+1,则 y′x=y′u·u′x=1ulog2e·(4x

+3)

=2x2l+og32xe+1·(4x+3)=

x+ 2x2+3x+1

2e.

方法二:y′=[log2(2x2+3x+1)]′

=2x2l+og32xe+1(2x2+3x+1)′=

x+ 2x2+3x+1

2e.

(2)方法一:设 y=lnu,u= v,v=x2+1,则 y′x=y′u·u′v·v′x=1u ·12v-12·2x



11 x2+1·2·

x12+1·2x=x2+x 1.

方法二:y′=(ln

x2+1)′=

1 (
x2+1

x2+1)′=

11 x2+1·2·

x12+1·2x=x2+x 1.

方法三:y=ln x2+1=12ln(x2+1),

所以 y′=12[ln(x2+1)]′=12·x2+1 1·(x2+1)′=x2+x 1.

(3)y′=???lnsinx2x???′

=sixn2x???sixn2x???′

x 2cos2x·x-sin2x

=sin2x·

x2

21 =tan2x-x.

(4)y=ee2xx++ee--2xx=

ex+e-x 2-2 ex+e-x

=ex+e-x-ex+2e-x=ex+e-x-e22x+ex 1,

所以 y′=(ex)′+(e-x)′-???e22x+ex 1???′

=ex-e-x-2ex

e2x+1 -2ex·2e2x e2x+1 2

=ex-e-x-2ex

1-e2x e2x+1

2

.

[点评] 应用指数、对数函数的求导公式,结合导数的四则运算法则及复合函数的求导

法则进行解题.求导过程中,可先适当进行变形化简,当然变形化简时要注意等价性.


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